Eimer
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Modifikation
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Bau
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Rechnung
Und jetzt ein bisschen Rechnerei mit Drehmomenten.
mA sei die Masse des linken Eimers,
rA der zugehörige Radius.
Für den rechten Eimer entsprechend mB und rB.
Die Masse jeder Kugel sei mK.
g bezeichnet die Fallbeschleunigung.
Die Schnur wird als masselos angenommen.
Die Drehmomente ergeben sich jeweils als Produkt aus
Gewichtskraft mg und zugehörigem Hebelarm r.
Bei einer Rolle mit aufgewickelter Schnur gilt die Besonderheit,
dass der Hebelarm immer der Rollenradius ist,
unabhängig vom Drehwinkel.
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linksdrehendes Moment |
Vgl. |
rechtsdrehendes Moment |
leere Eimer |
mA g rA |
< |
mB g rB |
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volle Eimer |
(mA + mK) g rA |
> |
(mB + mK) g rB |
Symmetriegründe sind immer ein gutes Argument.
Daher soll die Drehmoment-Differenz bei leeren Eimern
genauso groß sein wie diejenige bei vollen Eimern.
Nach Herauskürzen der Fallbeschleunigung g ergibt sich folgender Ansatz:
(1) mA rA + d =
mB rB ,
(2) (mA + mK) rA =
(mB + mK) rB + d .
Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen erhält man
(3) d = mK (rA − rB) / 2 .
Das heißt,
die Drehmoment-Differenz d g ist unabhängig von den Eimermassen
mA und mB.
Jetzt anzunehmen,
dass man die Eimermassen beliebig wählen kann,
ist aber ein Trugschluss.
Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt dann nämlich
unter Umständen eine negative Kugelmasse mK,
die natürlich physikalisch sinnlos ist.
Löst man die Gleichungen (1) und (2) nach d auf und setzt sie gleich,
ergibt sich nach kurzer Rechnung
(4) rA / rB =
(2 mB + mK) /
(2 mA + mK)
oder
(5) mB = mA rA / rB +
mK (rA − rB) / (2 rB) .
Im folgenden wird die Berechnung an einem Sonderfall verdeutlicht.
Man wählt zum Beispiel
(6) rA = 1.5 rB ,
damit es etwas ungewöhnlicher wird als der Fall des doppelten Radius.
Die Gleichung (5) vereinfacht sich damit zu
(7) mB =
1.5 mA + 0.25 mK .
Falls jemand Probe rechnen will,
in diesem Fall ist
(8) d = mK rA / 6 =
mK rB / 4 .
Wenn du nun Eimer der Masse mA
und Kugeln der Masse mK hast,
kannst du mit Gleichung (7) ausrechnen,
um wieviel der zweite Eimer beschwert werden muss,
damit er die Gesamtmasse mB bekommt.
Vermutlich funktioniert der Aufzug um so besser,
je leichter die Eimer im Vergleich zu den Kugeln sind.
Wenn zum Beispiel
(9) mA = 0.5 mK
ist, folgt mit Gleichung (7)
(10) mB = mK = 2 mA.
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